转动惯量（Moment of Inertia，简写为 ( J_f )）是物体在旋转运动中的惯性量度。它与物体的质量分布以及旋转轴的位置有关，类似于直线运动中的质量。转动惯量越大，物体在同样的外力作用下，旋转起来越困难。
转动惯量的基本公式为：
[ J_f = \sum m_i r_i^2 ]
其中： - ( m_i ) 是物体上第 ( i ) 个小质量元的质量； - ( r_i ) 是该小质量元到旋转轴的距离。
对于连续的物体，其转动惯量可以通过积分表示：
[ J_f = \int r^2 \, dm ]
这里，( r ) 是从旋转轴到物体上微小质量元素的距离，( dm ) 是该元素的质量。
根据不同物体的形状和质量分布，它们的转动惯量公式各不相同。以下是一些常见物体的转动惯量公式：
对于一根长度为 ( L )，质量为 ( M ) 的细长棒，绕其中心垂直于棒长方向的轴旋转时，其转动惯量为：
[ J_f = \frac{1}{12} M L^2 ]
如果细长棒绕一端垂直于其长轴旋转，其转动惯量为：
[ J_f = \frac{1}{3} M L^2 ]
对于一个质量为 ( M )，半径为 ( R ) 的圆盘，绕其中心垂直轴旋转时，转动惯量为：
[ J_f = \frac{1}{2} M R^2 ]
对于一个质量为 ( M )，半径为 ( R ) 的球体，绕其直径旋转时，转动惯量为：
[ J_f = \frac{2}{5} M R^2 ]
对于一个质量为 ( M )，内半径为 ( R_1 )，外半径为 ( R_2 ) 的空心圆环，绕其中心垂直轴旋转时，转动惯量为：
[ J_f = \frac{1}{2} M (R_1^2 + R_2^2) ]
转动惯量与物体的角动量（( L )）密切相关。角动量的定义为：
[ L = J_f \omega ]
其中，( \omega ) 是物体的角速度。通过这一关系，我们可以得出，物体的角动量与其转动惯量和角速度成正比。
转动惯量在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。例如： - 在机械工程中，转动惯量决定了机器零部件的转动性能。 - 在航天领域，转动惯量是卫星姿态控制和飞行稳定性的关键参数。 - 在体育运动中，运动员的转动惯量影响其旋转速度和灵活性。
转动惯量是描述物体旋转惯性的重要物理量。它不仅与物体的质量和形状密切相关，还受到旋转轴位置的影响。理解转动惯量的概念，有助于更好地掌握旋转动力学的基本原理，并在实际应用中做出优化设计。